[ Read ] 普林斯顿微积分读本
前言
数学是一门抽象的课程，抽象也就意味着，它很好的对现实的多种现象或者行为进行了很好的描述，但同时也意味着，理解它之前，很难将数学与现实进行很好的映射。仿佛是一个悖论： 你要运用数学这么工具来抽象的时候，你就需要学习这门工具。你要快乐的学习这门工具，你就需要有把数学的抽象点与现实一一映射的能力。仿佛是鸡生蛋，蛋生鸡，最后只能痛苦一波。
所以阅读数学方面的书籍，本身很大的可能性会缺乏阅读的动力，很多时候，在阅读的过程当中，可能就已经迷失了：
这一章节的目的是什么？为什么我要学习这一章？它有用吗？
就我个人而言，这是最痛苦的一个点。所以，本文也是在阅读的过程中，将被折磨的结果进行梳理，把每一章阅读的目的总结下来。如果有人和我一样，碰到了同样的问题，或许从本文中能找到一丝脉络，进而找到阅读的动力。
本文准备回答以下几个问题：
- 本书的是如何对微积分的知识进行梳理的？
- 阅读本书时，最好带着什么样的问题进行阅读？
问题
书籍本身致力于解决的问题：
- 在坐标系当中，各个函数的曲线。这个是基本的高中数学问题。
- 极限的现实意义，以及其可以解决的问题是什么？
- 在极限的基础上，导数是什么？有什么样的作用？
- 探讨各种函数的极限与导数的情况，以及其相关的现实意义。（譬如说，指数函数可以推断半衰期）
函数
- 多项式
- 三角函数
- 有理函数
- 指数函数 & 对数函数
- 带有绝对值的函数
极限
极限有几种，
- 一种
f(x) x=a左极限，右边的值， 即x>=a可以不予考虑 - 右极限，与前面相反，
x<=a可以不予考虑。 - 双侧极限，左右极限存在不相等，双侧极限不存在。左右极限存在且相等， 双侧极限存在并等于左右的值。 f(a) 不重要。
x -> 无穷的极限x -> 负无穷的极限
三明治定理。 f(x)/p(x)/g(x) ，如果 p(x) < f(x) < g(x), 当 x -> a 如果 p g 两个函数收敛于 L， 则 x->a 时，f也收敛于L。
本书的整体思路梳理
基础的基础
第四章是如何利用极限来进行运算. 紧接着开始讲到微分。
从数学的概念上，将函数的连续性（线段是光滑的，连续的），及可导性（原文是说不会出现尖角，其实我觉得就是说线段是光滑的，有斜率的) 做了一定程度的介绍以及练习。
个人的思考
极限是微分的基础，考虑这样一个问题，我们要画一个函数的图像，比如说 x^2 ，根据代数，我们可以简单计算出1，2，3，4 各自对应的 x^2 后的结果。
在坐标系上面，也可以找到对应的点。那么，在 x 无限接近 2 的这个地方，我们如何确定它的的结果和 2 是连接起来的呢？
而这个点，也就是我们的极限。
有了极限这个概念之后，我们可以推算出一个公式本身，是否具有连续性。
紧接着，从极限的变化这个点，又存在一个有意思的东西值得探讨： 有了变化，那么函数本身在这个点的变化率是多少呢？
这个问题，引出了导数的这个概念。一个函数在极限位置的变化率，也就是它的导数。
而这个导数的公司，可以根据直观来推理出来： 一个函数 f(x) 有一个非常小的变化量为 h，它无限趋近 0。 这个时候，它的变化率可以根据
(f(x+h) - f(x)) / h 来计算，这个公式，也就是导数的计算公式。
书中举得一个例子，我个人觉得很实用。考虑 y = x^2 这个函数。 它的导数是 2x。
也就是说如果 x=10， 在无限趋近于 x=10 的这个地方， y（也就是 x^2) 是多少？
比如说： 10.000008 的平方是多少？
这个时候，就可以运用导数来进行计算； 我们知道 10^2 是100，加上 0.000008 这个微小变化量乘以导数，就应该趋近于问题的解。
也就是 10^2 + 0.000008*20 = 100 + 0.00016 ~= 100.00016 。可以依靠计算器来进行运算，会发现确实非常接近。
微分相关基础及运算
第六章，求解微分问题： 更多的是练习公式，以及一些求导过程中用到的技巧。
多个函数相加的导数，等于各个函数导数之和。
(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
函数相乘导数的直观理解
多个函数相乘，
(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + g'(x)f(x)
本书中给出了上面公式直观的解释。
想象 f(x)g(x) 两个函数分别是一个矩形的两个边。那么对两个函数求导，也就是求这个矩形面积的两个边发生非常小的变化(h)时，整个矩形面积的变化。
那么，整个面积变化可以分为三个部分，矩形侧边移动了 h 的矩形面积(1)。矩形上边移动了 h 的矩形面积(2)，以及矩形两边移动共同产生的一个矩形面积(3)。见下图。
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| 2 |3|
-------------|
| | |
| | |
| |1|
| f(x)g(x) | |
| | |
| | |
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上面的矩形面积就是 (f(x+h)-f(x))g(x) + (g(x+h)-g(x))f(x) + (f(x+h)-f(x))(g(x+h)-g(x))
紧接着，我们对其中的内容进行求导，也就有一下的公式。
(f(x+h)-f(x))g(x)/h + (g(x+h)-g(x))f(x)/h + (f(x+h)-f(x))(g(x+h)-g(x))/h
也就是 f'(x)g(x) + g'(x)f(x) + f'(x)(g(x+h)-g(x))。
当 h -> 0 时， g(x+h)-g(x) 趋近于 0。所以后面的公式也就为 0；所以最终的结果也就是：
f'(x)g(x) + g'(x)f(x)
链式法则的直观理解
链式法则，多个函数嵌套
f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)
链式法则，可以通过三个线段的形式进行理解；
x -----------------{x'}--
g(x) ----------{u'}---------
f(g(x)) ---------------{v'}----
x 的变化，将会影响 g(x)， g(x) 的变化，将会影响 g(f(x))。
x 变化为 x'，用 u 来代表 g(x)，u'代表g(x)的变化，则 g(x) 的变化就是 u' = g'(x)x'
g(x) 变化为 u'，f(u)的变化量 v' = f'(u)u'
我们有：
v' = f'(u)u'
u = g(x)
(f(g(x)))' = f'(u)u'/x'
罗列完毕，我们整体的来看一下。
f'(u)u' / x' = f'(g(x))g'(x)x'/x' = f'(g(x))g'(x)
也就得出了链式公式。
第七章，则专注在三角函数的求导上面。
第八章， 隐函数，需要学习一下。
第九章， 指数函数和对数函数的求导。而这个里面，会涉及到一些概念，比如说 e， ln 等。
第十章，讲到反函数和反三角函数。
第十一章， 导数和图像： 根据以有的各种函数，来进行一般函数画像的绘制，而导数在这个里面，则可以帮助绘制者理解最大值和最小值。
二阶导数，则可以帮助理解函数的凹性。
第十二章，绘制函数图像： 介绍绘制函数图像的一般方法，感觉更多的是上一章的练习。
第十三章，介绍到微积分的两个实际应用： 最优化，和线性化。
最优化，日常生活中最优路线是一个例子。而线性化，原文是对难以计算的量找出其估算值的有用技术。也可用来找出函数零点的估值，被称为牛顿法。